1. Даны векторы \(\vec{a} = (1, 2)\) и \(\vec{b} = (2, -1)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
2. Вычислите угол между векторами \(\vec{a} = (3, 4)\) и \(\vec{b} = (-4, 3)\) в градусах.
3. Если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), что можно сказать о векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (про угол между ними)?
4. Даны векторы \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2)\). Выразите скалярное произведение через их координаты.
5. Найдите длину вектора \(\vec{a} = (4, -3)\) используя скалярное произведение.
6. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (-1, 2)\) и \(\vec{b} = (3, 5)\).
7. Определите, перпендикулярны ли векторы \(\vec{a} = (2, 2)\) и \(\vec{b} = (-1, 1)\).
8. Дан вектор \(\vec{a} = (x, 10)\), где \(x\) - неизвестно. Если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 20\), где \(\vec{b} = (2, 0)\), найдите \(x\).
9. Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (7, -4)\) и \(\vec{b} = (-4, -3)\).
10. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) образуют угол \(45^\circ\), каково их скалярное произведение, если \(|\vec{a}| = 2\) и \(|\vec{b}| = 2\)?
11. Найдите угол между векторами \(\vec{a} = (3, 3\sqrt{3})\) и \(\vec{b} = (3\sqrt{3}, 3)\).
12. Даны векторы \(\vec{a} = (1, 0)\) и \(\vec{b} = (0, 1)\). Найдите скалярное произведение и угол между ними.
13. Если вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((4, y)\) и он перпендикулярен вектору \(\vec{b} = (2, 2)\), найдите \(y\).
14. Даны векторы \(\vec{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)\) и \(\vec{b} = (-\sin \alpha, \cos \alpha)\). Докажите, что они перпендикулярны.
15. Найдите вектор, перпендикулярный вектору \(\vec{a} = (3, 4)\) и имеющий такую же длину.
16. Вычислите длину вектора, перпендикулярного векторам \(\vec{a} = (2, 1)\) и \(\vec{b} = (-1, 2)\), если известно, что его скалярное произведение с \(\vec{a}\) равно 10.
17. Докажите, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то угол между ними равен \(90^\circ\).
18. Как изменится скалярное произведение векторов, если один из векторов умножить на \(-1\)?
19. Найдите косинус угола между векторами \(\vec{a} = (1, 2)\) и \(\vec{b} = (2, 3)\), используя скалярное произведение.
20. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) образуют угол \(60^\circ\), найдите их скалярное произведение, зная, что \(|\vec{a}| = 3\) и \(|\vec{b}| = 2\).
21. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) образуют угол \(45^\circ\), найдите их скалярное произведение, зная, что \(|\vec{a}| = 5\) и \(|\vec{b}| = 5\).
22. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) образуют угол \(30^\circ\), найдите их скалярное произведение, зная, что \(|\vec{a}| = 2\) и \(|\vec{b}| = 6\).
23. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) образуют угол \(90^\circ\), найдите их скалярное произведение, зная, что \(|\vec{a}| = 4\) и \(|\vec{b}| = 3\).
24. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) образуют угол \(120^\circ\), найдите их скалярное произведение, зная, что \(|\vec{a}| = 7\) и \(|\vec{b}| = 1\).