Проверьте, являются ли следующие два вектора линейно зависимыми:
\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{bmatrix} \)
Проверьте, образуют ли следующие три вектора базис в пространстве \(\mathbb{R}^3\):
\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \)
Проверьте, образует ли тройка векторов \( \{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}\) базис в пространстве \(\mathbb{R}^3\), и если да, найдите координаты \(\mathbf{a}_4\) в этом базисе:
\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_4 = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} \)
Дан вектор \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \). Будет ли он являться линейной комбинацией двух других векторов:
\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)