Дана матрица \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) линейного оператора в базисе двух векторов \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) и \(v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\). Найдите матрицу данного оператора в базисе двух других векторов \(u_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\) и \(u_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\).
Проверьте, будет ли оператор линейным, если образом вектора \(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) будет вектор \(y = \begin{bmatrix} 2x_2\\ x_1 \\ -x_3 \end{bmatrix}\). Если оператор является линейным, то найдите матрицу данного оператора.
Проверьте, будет ли оператор линейным, если образом вектора \(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) будет вектор \(y = \begin{bmatrix} 2x_2x_1\\ x_1^2 \\ -x_3x_1 \end{bmatrix}\). Если оператор является линейным, то найдите матрицу данного оператора.
Найдите матрицу линейного отображения вектора \(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\), переводящего его в вектор \(y\) путем отражения относительно прямой \(x_2=-2x_1\).
Найдите собственные числа оператора с матрицей \(A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\).