Задачи на алгебраические дополнения, миноры, определители, обратную матрицу.

Задача 1: Вычислите все миноры \(M_{ij}\) для элементов матрицы \(M\):

M = \(\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}\)

Задача 2: Вычислите все алгебраические дополнения \(A_{ij}\) для каждого из элементов матрицы:

M = \(\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}\)

Задача 3: Вычислите определитель матрицы:

\(\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}\)

Задача 4: Вычислите все миноры \(M_{ij}\) для элементов матрицы \(N\):

N = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Задача 5: Вычислите все алгебраические дополнения \(A_{ij}\) для каждого из элементов матрицы:

N = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Задача 6: Вычислите определитель матрицы N:

N = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Задача 7: Найдите присоединенную (союзную) матрицу для матрицы N по формуле:

N = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

\(N^*\) - союзная матрица для матрицы \(N\) (транспонированная матрица алгебраических дополнений), вычисляется следующим образом:

\( N^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}^T \)

Где \(A_{ij}\) - алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\) матрицы \(N\).

Задача 8: Найдите обратную матрицу по формуле, которая написана ниже:

N = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Формула для вычисления обратной матрицы через союзную матрицу:

Для матрицы \(A\) размером \(3\times 3\), обратная матрица \(A^{-1}\) вычисляется по формуле:

\( A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} A} \cdot A^* \)

\( \operatorname{det} A \) - определитель матрицы \(A\), а также \(A^*\) - союзная матрица

Сделайте проверку, вычислив произведение \(A\cdot A^{-1}\), должно выйти \(A\cdot A^{-1}=E\)

Задача 9: Найдите обратную матрицу для матрицы N через элементарные преобразования, дописав единичную матрицу справа:

N = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Задача 10: Вычислите определитель матрицы с помощью разложения по второму столбцу

\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 3 & 0 & -5 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 4 & 3 \end{vmatrix}\)

Задача 11: Вычислите определитель матрицы путем элементарных преобразований (метод Гаусса)

\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 3 & 0 & -5 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 4 & 3 \end{vmatrix}\)