Задачи по определенным интегралам

1. Вычислите \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(4x) \, dx \) используя замену переменных или внесения под дифференциал.
2. Вычислите \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^2e^{x^3} \, dx \) с помощью замены переменных или внесения под дифференциал.
3. Найдите \(\displaystyle\int_{0}^{e-1} \dfrac{1}{x+1} \, dx \) используя замену переменных или внесения под дифференциал.
4. Определите \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos^2(5x)} \, dx \) с помощью замены переменных или внесения под дифференциал.
5. Рассчитайте \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx \) используя метод замены переменных или внесения под дифференциал.
6. Вычислите \(\displaystyle\int_{0}^{1} x \cdot e^x \, dx \) методом интегрирования по частям.
7. Найдите \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \, dx \) с помощью интегрирования по частям.
8. Определите \(\displaystyle\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \) используя метод интегрирования по частям.
9. Рассчитайте \(\int x^2 \cdot e^x \, dx \) с помощью интегрирования по частям.

3. Вычисление площади под графиком функции

1. Вычислите площадь ограниченную функцией \( y = x^2 \), а также \(x=1\) и \(y=0\).
2. Определите площадь под графиком функции \( y = e^x \) на интервале \([1, 2]\).
3. Найдите площадь под графиком функции \( y = \sin(x) \) на интервале \([0,\pi)\).
4. Вычислите площадь под графиком функции \( y = \dfrac{1}{x} \) на интервале \([1, e]\).