Подсказка:

В качестве эталона для сравнения функций часто берут функцию \(\varphi(x) = \dfrac{1}{(b \pm x)^{\alpha}}\).

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода:

Признак сравнения. Если на промежутке \([a; +\infty)\) непрерывные функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) удовлетворяют условию \(0 \leqslant f(x) \leqslant \varphi(x)\), то из сходимости интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} \varphi(x) \, dx\) следует сходимость интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \, dx\), а из расходимости интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \, dx\) следует расходимость интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} \varphi(x) \, dx\) («признак сравнения»).

Предельный признак сравнения. Если при \(x \in [a; +\infty)\), \(f(x) > 0\), \(\varphi(x) > 0\) и существует конечный предел \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{\varphi(x)} = k \neq 0\), то возможны только два варианта:

• а) Каждый из интегралов \(A = \displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \, dx\) и \(B = \displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} \varphi(x) \, dx\) сходится.
• б) Каждый из двух интегралов \(A\) и \(B\) является расходящимся.

Абсолютная сходимость. Если сходится интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)| \, dx\), то сходится и интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} f(x) \, dx\), который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода:

Признак сравнения. Если на промежутке \([a; b)\) функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) непрерывны, при \(x = b\) терпят разрыв II-го рода и удовлетворяют условию \(0 \leqslant f(x) \leqslant \varphi(x)\), то из сходимости интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} \varphi(x) \, dx\) следует сходимость интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx\), а из расходимости интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx\) следует расходимость интеграла \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} \varphi(x) \, dx\) («признак сравнения»).

Предельный признак сравнения. Пусть функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) непрерывны на промежутке \([a; b)\) и в точке \(x = b\) терпят разрыв II-го рода. Если существует предел \(\lim\limits_{x \to b-0} \dfrac{f(x)}{\varphi(x)} = k\), \(0 < k < +\infty\), то возможны следующие случаи:

• а) Если интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} \varphi(x) \, dx\) сходится, то и интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx\) также сходится.
• б) Если интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} \varphi(x) \, dx\) расходится, то и интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx\) также расходится.

3. Если функция \(f(x)\), знакопеременная на отрезке \([a; b]\), имеет разрыв в точке \(x = b\), и несобственный интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} |f(x)| \, dx\) сходится, то сходится и интеграл \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Основные правила эквивалентностей для пределов