Тест по теореме косинусов

Решение

Сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\), а сам угол \(A\) образован двумя другими сторонами — \(b\) и \(c\).

Решение

Пусть третья сторона равна \(a\). Тогда

\[a^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ.\]

\(\cos60^\circ=\dfrac12\), поэтому \(a^2=25+49-35=39\).

Решение

При \(90^\circ\) косинус равен нулю, поэтому член \(-2bc\cos A\) исчезает и остаётся \(a^2=b^2+c^2\).

Решение

При прямом угле теорема косинусов превращается в теорему Пифагора:

\[a^2=6^2+8^2=36+64=100.\]

Так как длина стороны положительна, \(a=10\).

Решение

Из \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) переносим \(a^2\) и делим на \(2bc\): \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).

Решение

\[\cos A=\dfrac{8^2+5^2-7^2}{2\cdot8\cdot5}=\dfrac{64+25-49}{80}=\dfrac{40}{80}=\dfrac12.\]

Решение

Из \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) видно: если \(a^2\) больше \(b^2+c^2\), то \(-2bc\cos A\gt0\), значит \(\cos A\lt0\). Следовательно, угол \(A\) тупой.

Решение

\(\cos120^\circ=-\dfrac12\). Поэтому

\[a^2=25+25-2\cdot5\cdot5\left(-\dfrac12\right)=50+25=75.\]

Решение

\[a^2=3^2+7^2-2\cdot3\cdot7\cdot\dfrac12=9+49-21=37.\]

Решение

Пусть искомая сторона равна \(a\). По теореме косинусов:

\[a^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ.\]

Так как \(\cos60^\circ=\dfrac12\),

\[a^2=25+64-80\cdot\dfrac12=89-40=49.\]

Длина стороны положительна, поэтому \(a=7\).