ЕГЭ · 11 класс

Производная: что это такое и как применять

Производная — не только набор формул. Сначала разберём её главный смысл как мгновенной скорости изменения, затем строгое определение и практические правила, которыми действительно пользуются в задачах ЕГЭ.

Главный смысл производной

Производная показывает мгновенную скорость изменения функции.

Если \(y=f(x)\), то число \(f'(x_0)\) показывает, насколько быстро меняется значение функции около конкретной точки \(x_0\). Чем больше производная по модулю, тем быстрее меняется функция; знак производной указывает направление изменения.

Геометрически \(f'(x_0)\) — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_0\). Если касательная идёт вверх слева направо, производная положительна; если вниз — отрицательна.

\(f'(x_0)\gt0\)
в окрестности точки функция направлена вверх

\(f'(x_0)\lt0\)
в окрестности точки функция направлена вниз

\(f'(x_0)=0\)
касательная горизонтальна; точку нужно исследовать дальше

Строгое определение через предел

Если функция определена около точки \(x_0\), её производной в этой точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

\[f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\]

если этот предел существует.

\(x_0\) — точка, в которой мы хотим узнать производную;
\(h\) — маленькое изменение аргумента, которое стремится к нулю;
\(f(x_0+h)-f(x_0)\) — соответствующее изменение значения функции;
дробь показывает среднюю скорость изменения на маленьком промежутке, а предел при \(h\to0\) превращает её в мгновенную.

Для профильного ЕГЭ. Обычно производные не приходится каждый раз вычислять непосредственно по этому определению. На практике значительно важнее знать таблицу производных и правила дифференцирования ниже, а также понимать знак производной, возрастание/убывание, экстремумы и касательную. Табличные формулы и правила можно обосновывать из определения производной; для некоторых функций при выводе дополнительно используются известные пределы.

Правила дифференцирования

Именно эти правила позволяют находить производные сложных выражений, не возвращаясь каждый раз к пределу.

Сумма
\((u+v)'=u'+v'\)

Разность
\((u-v)'=u'-v'\)

Постоянный множитель
\((cu)'=cu'\)

Произведение
\((uv)'=u'v+uv'\)

Частное
\(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), \(v\ne0\)

Сложная функция
\((F(g(x)))'=F'(g(x))\cdot g'(x)\)

Мини-пример на сумму и разность

Если \(f(x)=x^4-3x^2+7x-5\), то производная берётся по слагаемым:

\[f'(x)=4x^3-6x+7.\]

Производная постоянного числа \(-5\) равна нулю.

Основная таблица производных

\((C)'=0\)

\((x)'=1\)

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

\((\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\)

\((\sin x)'=\cos x\)

\((\cos x)'=-\sin x\)

\((e^x)'=e^x\)

\((a^x)'=a^x\ln a\)

\((\ln x)'=\frac1x\)

\((\log_a x)'=\frac1{x\ln a}\)

Для более широкой справочной таблицы можно использовать отдельную страницу «Таблица производных».

Сложная функция — почему появляется дополнительный множитель

Например, \(y=(2x+1)^5\). Внешняя функция — пятая степень, внутренняя — \(2x+1\). Сначала дифференцируем внешнюю функцию, сохраняя внутреннее выражение, а затем умножаем на производную внутренней:

\[y'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4.\]

Как знак производной связан с графиком

Для задач ЕГЭ особенно важно уметь читать знак производной на промежутках.

Если \(f'(x)\gt0\) на промежутке, функция там возрастает.
Если \(f'(x)\lt0\) на промежутке, функция там убывает.
Точки внутри области определения, где \(f'(x)=0\) или производная не существует, называют критическими. Они являются кандидатами на экстремум, но не каждая критическая точка обязательно является максимумом или минимумом.
Если знак производной меняется с «+» на «−», в точке получается локальный максимум; с «−» на «+» — локальный минимум.

Касательная

Уравнение касательной к графику \(y=f(x)\) в точке \(x_0\):

\[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\]

Здесь \(f(x_0)\) задаёт точку графика, а \(f'(x_0)\) — наклон касательной.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Производная суммы и разности

Найти: \(f'(x)\), если \(f(x)=x^4-3x^2+7\).

Дифференцируем каждое слагаемое отдельно. \((x^4)'=4x^3\), \((-3x^2)'=-6x\), производная постоянного числа \(7\) равна нулю.

Поэтому \(f'(x)=4x^3-6x\).

Ответ: \(4x^3-6x\).

Пример 2. Производная сложной функции

Найти: \(y'\), если \(y=(3x-2)^4\).

Производная внешней функции \(u^4\) равна \(4u^3\). Вместо \(u\) возвращаем \(3x-2\): получаем \(4(3x-2)^3\). Затем умножаем на производную внутренней функции \((3x-2)'=3\).

\[y'=12(3x-2)^3.\]

Ответ: \(12(3x-2)^3\).

Пример 3. Промежутки возрастания

Исследовать знак производной: \(f(x)=x^3-3x\).

\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Критические точки: \(x=-1\) и \(x=1\).

На \((-\infty;-1)\) оба множителя \(x-1\) и \(x+1\) отрицательны, произведение положительно, поэтому \(f'(x)\gt0\). На \((-1;1)\) знаки множителей разные, производная отрицательна. На \((1;+\infty)\) производная снова положительна.

Следовательно, функция возрастает на \((-\infty;-1)\) и \((1;+\infty)\), убывает на \((-1;1)\).

Пример 4. Наименьшее значение на отрезке

Найти минимум: \(f(x)=x^2-4x+5\) на \([0;3]\).

\(f'(x)=2x-4\). Критическая точка внутри отрезка: \(2x-4=0\), значит \(x=2\).

Для наибольшего и наименьшего значения на отрезке проверяем критические точки и концы: \(f(0)=5\), \(f(2)=1\), \(f(3)=2\).

Наименьшее значение: \(1\), оно достигается при \(x=2\).

Пример 5. Уравнение касательной

Дано: \(f(x)=x^2\), \(x_0=1\).

\(f(1)=1\). Производная \(f'(x)=2x\), поэтому \(f'(1)=2\).

Подставляем в формулу касательной: \(y=1+2(x-1)=2x-1\).

Ответ: \(y=2x-1\).

Типичные ошибки

Забывать, что производная постоянного числа равна нулю.
При сумме или разности пытаться применять правило произведения — производные слагаемых просто складываются или вычитаются.
В сложной функции забывать умножить на производную внутренней функции.
Считать каждую точку, где \(f'(x)=0\), экстремумом, не проверяя смену знака.
В задаче на максимум/минимум на отрезке проверять только критические точки и забывать концы отрезка.