Алгебра

Степени: определение и свойства

На этой странице собраны основные определения, ограничения и формулы, которые используются при преобразовании выражений со степенями.

Что такое степень

Для натурального числа \(n\) степень \(a^n\) — это произведение \(n\) одинаковых множителей:

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}}.\]

В записи \(a^n\) число \(a\) называется основанием степени, а \(n\), записанное справа вверху, — показателем степени.

Например: в выражении \(7^5\) число \(7\) — основание степени, число \(5\) — показатель степени, а всё выражение \(7^5\) — степень числа \(7\) с показателем \(5\).

7⁵

Показатель степени (5)число справа вверху показывает, в какую степень возводят основание

Основание степени (7)это число, которое возводят в степень

\(a^1=a\).
\(a^0=1\), если \(a\ne0\). Выражение \(0^0\) в школьной алгебре не определено.
\(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\), если \(a\ne0\) и \(n\in\mathbb N\).
При \(a>0\): \(a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\), где \(m\in\mathbb Z\), \(n\in\mathbb N\).

Важно. В формулах с произвольными рациональными показателями обычно предполагают \(a>0\). Это исключает неоднозначности, возникающие у отрицательного основания.

Основные свойства степеней

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad a\ne0\)

\((a^m)^n=a^{mn}\)

\((ab)^n=a^n b^n\)

\(\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},\quad b\ne0\)

\(a^{-n}=\dfrac1{a^n},\quad a\ne0\)

Для целых показателей эти свойства действуют при всех значениях, при которых выражения определены. Для рациональных показателей безопасное стандартное условие — положительное основание.

Знак степени и скобки

Если \(n\) чётно, то \((-a)^n=a^n\ge0\).
Если \(n\) нечётно, то \((-a)^n=-a^n\).
\((-2)^4=16\), но \(-2^4=-(2^4)=-16\): без скобок минус не входит в основание.
Степень не распределяется по сумме: в общем случае \((a+b)^n\ne a^n+b^n\).

Сравнение степенных функций

При \(a>1\) функция \(y=a^x\) возрастает. При \(0<a<1\) функция \(y=a^x\) убывает. Во всех случаях \(a^x>0\).

Примеры

\(2^3\cdot2^{-5}=2^{-2}=\dfrac14\).
\((3a^2)^3=3^3(a^2)^3=27a^6\).
\(16^{\frac34}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\).
\(\dfrac{x^7}{x^3}=x^4\), если \(x\ne0\).

Сводка формул

\(a^0=1\), \(a\ne0\)

\(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\)

\(a^m a^n=a^{m+n}\)

\(a^m:a^n=a^{m-n}\)

\((a^m)^n=a^{mn}\)

\((ab)^n=a^n b^n\)

\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\), \(a>0\)

\(a^x>0\), \(a>0\)